수학 질문(이해시켜주시면 복받으실거에요)
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수학 문제 해설중에 납득이 안되는 부분이 있어서 qna 게시판에도 올려보고, 큐브에도 여러번 올려봤는데 도저히 설명에 납득이 안가서 여기 올려봅니다,,
제 답답함을 풀어주시는 분은 복 받으실거에요.
해당 문제랑 해설인데요.
해설 맨 마지막 줄 g(x)=2x+n*pi 이 부분 빼고는 다 이해했습니다.
그런데 저는 왜 저기서 갑자기 g(x)를 2x+n*pi라고 확정할 수 있는지 이해가 안됩니다.
f(x)의 주기가 pi이기에 적분 시작점인 g(0)=n*pi로 두면 당연히 g(x)=2x+n*pi 일 것입니다.
그런데 적분 시작점인 g(0)이 n*pi라는 보장이 없으니까 g(0)값에 따라 g(x)는 제각각일 것입니다.
예를 들어 g(0)을 pi/2로 가정해본다면
양쪽 적분식의 적분 시작점인 g(0)과 0은 f(x)라는 주기함수에서 주기상의 같은 지점이 아닙니다.
x=g(0)에서 f(x)는 극대이고, x=0에서 f(x)는 극소이니까요.
그렇다면 이때 g(x)는 미분가능한 어떤 함수가 되겠지만 양함수로는 표현할 수 없는 함수가 될 것입니다.
당연히 모든 실수 x에 대해서 g(x)-g(0)=2x일 수 없으며
이때 y=2x 그래프와 y=g(x)-g(0)의 그래프의 교점은 (n*pi/4 , n*pi/2)이 되겠네요.
x=n*pi/4일때 0부터 2x까지 적분값과 g(0)부터 g(x)까지의 적분값이 같아질테니까요.
이런식으로 적분시작지점인 g(0)의 값이 무엇이냐에 따라 g(x)의 그래프는 계속 달라질 것입니다.
해설지를 보면 (가)조건만으로 g(x)=2x+n*pi라고 확정지었는데 g(x)가 다항함수라거나 뭐 그런 조건이 있는 것도 아닌데 이 부분이 이해가 안됩니다.
물론 g(x)=2x+n*pi가 아니라면 (나)조건에 g(x)를 넣고 계산할 수 없으니 (나)조건에 만족하지 않겠죠.
근데 제 질문은 해설지처럼 (가) 조건만으로 g(x)=2x+n*pi라고 확정 할 수 없지 않느냐입니다.
수학을 인강으로만 하고 있어서 오프라인 질문을 할 수 있는 곳도 없고, 큐브에도 질문을 여러번 올렸는데 계속 납득할 수 있는 설명 없이 g(x)-g(0)=2x여야만 한다고 하셔서 질문권이랑 시간만 날리고 너무 답답해서 여기에 글 올려봐요..
제 생각에 어떤 모순이 있는지 알려주신다면 정말 감사할 것 같습니다.
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글쓴이분 말씀이 맞는거 같은데.. 문제가 이상한거 아닌가요?
유명 선생님의 교재이기도 하고, qna게시판에 계속 질문을 해봐도 이해가 안되는 답변 뿐이라 너무 답답하네요.
미분가능한 함수 중 f(g(x))g'(x)=2f(2x)를 만족시키는 함수 g(x)가 과연 2x+npi 뿐인가를 보면 될거 같은데.. 제가 배움이 짧아서 확인하기가 힘드네요
저는 말씀하신 그 식을 만족하는 미분가능한 g(x)가 양함수로 나타낼 수 없을 뿐 셀 수 없이 많을 거라고 생각하는데 왜 무조건 g(x)=2x+n*pi 일 수 밖에 없는지 납득하고 싶네요 정말