Curl-Div
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00069376678
Curl-Divergence lemma라고 함수열의 수렴에 대해서 이야기 하는데 희한하게도 Curl과 Divergence에 bound를 주는 것을 가정으로 하고 있다. 직관적으로 이게 어떻게 연관되어 있는지 잘 와닿지 않는데, 일단 statement 먼저 보자.
The Curl-Div lemma. Suppose $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ weakly in $L^2(\Omega;\Bbb R^3)$ on a domain $\Omega\subset\Bbb R^3$ while the sequences $\operatorname{div} u_m$ and $\operatorname{curl} v_m$ are relatively compact in $H^{-1}(\Omega)$. Then for any $\varphi\in C^\infty_0(\Omega)$ we have
$$\int_{\Omega}u_m\cdot v_m\varphi dx\to\int_{\Omega}u\cdot v\varphi dx$$
as $m\to\infty$.
여기서 나오는 $\cdot$ 은 Euclidean space에서의 내적을 의미한다. Statement의 의미를 다시 말하면, 미분에 bound를 줘서 nonlinear expression 의 weak continuity를 얻어내는 것이다.
이걸 differential form의 언어로 바꿔서 표현을 하기 시작하면, 이 curl과 div에 boundness 조건을 주는 것이 weak convergence에 어떤 영향을 주는지 좀 더 직관적으로 드러난다.
$M$을 closed oriented smooth $n$-manifold라고 하자. 이제 $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ in $L^2$ such that $(d^* u_m), (dv_m)$ 들이 $H^{-1}$에서 relatively compact라고 하자. 이 조건은 위의 Curl-Div lemma에서 Curl과 Div의 relative compactness와 대응된다. $u_m, v_m$을 $u_m - u, v_m - v$로 바꿔서, $u = 0, v = 0$으로 가정할 수 있다. 그러면 Hodge decomp.에 의해,
$$u_m = da_m + d^* b_m + c_m,$$
$$v_m = df_m + d^* g_m + h_m,$$
where $c_m,h_m$ are harmonic 1-forms and $a_m \rightharpoonup 0, b_m \rightharpoonup 0, f_m \rightharpoonup 0, g_m \rightharpoonup 0$ in $W^{1.2}(M)$, $c_m \rightharpoonup 0, h_m \rightharpoonup 0$ in $L^2(M)$ 이런 것을 얻을 수 있다.
Hodge decomp.의 consequence중 하나가 $M$위에서의 space of harmonic 1-form들의 공간은 locally compact이다. 따라서, smooth하게 $c_m \to 0$, $h_m \to 0$ 된다. 또한 가정에 의해서 $\Delta a_m = d^* u_m, \Delta g_m = dv_m$이 $H^{-1}$에서 relatively compact이기 때문에, $(da_m),(d^* g_m)$은 $L^2$에서 precompact하게 들어가있다. 따라서,
$$u_m = d^* b_m + o(1),\quad v_m = df_m + o(1),$$
in $L^2$가 된다. 또한,
$$\langle u_m,v_m\rangle_g \omega_g = \ast (\langle d^*b_m, df_m\rangle_g) = (d\ast b_m)\wedge df_m = d((\ast b_m)\wedge df_m),$$
임을 알 수 있다. 여기가 그 "미분"의 모습이 드러나는 핵심적인 부분이다.
구체적으로 말하진 않겠지만, Rellich theorem 이라는 것이 있는데, 이것은 $b_m\to 0$ in $L^2$임을 imply한다. 따라서
$$\int_M \langle u_m,v_m\rangle_g\varphi\omega_g = \int_M d((\ast b_m)\wedge df_m)\varphi + o(1) = (-1)^n \int_M (\ast b_m)\wedge df_m\wedge d\varphi + o(1) = o(1).$$
따라서 앞선 Curl-Div lemma와 같은 결론을 낸다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
팜하니 4
-
세지 사설모고 0
jit도 풀까 이기상쌤꺼만 해도 31회인데 음.. 사탐 존나해서 풀 시간은 될거...
-
그저 평범한 고등학생이 쓰는 아무 보잘것 없는 글이지만 조금만 횡설수설해보겠습니다...
-
??
-
막곡은 역시 1
맨! 정신이 난 힘들어 아!무것도 할 수가 없어 맨! 정신이 난 제일 싫어 너!...
-
. 7
-
적중예감 파이널 5
등급컷 따로 있나요.? 글고 파이널이 더 어려움? 아직1회차라 넘쉬운데
-
오지2>식센모 블랙>오지3>식센모 화이트>오지 1>데브 맞나요??
-
많은 학생들이 시험장에서 실수를 합니다. 어떤 학생들은 고질적인 실수로 항상 자신의...
-
어디서부터 풀어야 할지 모르겠어서 그냥 22 6평부터 평가원 기출 쭉 풀어볼게요 툴...
-
노래방 가고싶다 4
호에에
-
오리스티커 넣을 공간은 있고 Omr넣을 공간은 없나 봄.
-
. 2
-
뭐가 더 모래주머니 같은가요?
-
왁자지껄 우당탕탕 여름청춘고교라이프가 생각나는 밝고 통통튀는 브금
-
우린 야경처럼 반짝거리네에ㅔㅔㅔㅔ에에에ㅔ 나는 널 채우는 샴페인 너는 날 깨우는...
-
수특. 수완 말고 또 뭐가 있나요?? 뭐 봉투모의고사 그런것도 연계인가요..?
-
여기서 보통 9분정도 쓰는데 너무 많이 쓰는거 같음 어떻게 줄이지…
-
내가 네말을 듣겠냐고 그렇게 할일 없냐고? 도저히 너처럼 못살아
-
정시 파이터 한다고 내신 1.7에 덜컥 자퇴했는데 막상 공부 해보니까 외롭고 멘탈...
-
n수는 12시간 동안 갇혀서 공부만 하며 거친 야생성을 버리고 점차 섬세하고...
-
올해 전역하는 군인입니다. 말그대로 노베인데 김동욱 선생님의 일취클 듣고 마더텅같은...
-
한 달짜리? d-100? 하프이어? 400일 맞이 d-100짜리 사려햇는데 4권...
-
너의 모습 그대로 셔터를 눌러 다시 필름을 감아 사진 속 그어떤 멋을 내봐도 너의...
-
더프 보정컷 2
9월 더프 보정 너무 후하게 들어간거 같은데 수능이랑 가장 비슷할 거 같은...
-
거리에는 환한 미소 넘치네에에
-
(진짜모름)
-
지금 너무 보고 싶어 언젠가 만날꺼야 마음속에 피어오르는 나는 너만의 꽃 나는...
-
9덮 결과 4
화작 72 미적 92 영어 85 물리 45 생명 50 무보 51231 보 31211...
-
실화냐
-
난 디게어렵던데
-
뭔지 내게 말해줘 사랑일까 이런게 사랑일까아ㅏ 워우워예에
-
꽤 열심히 살았으니 업키는 가져가겠어
-
진심으로 영어 3이 젤 걱정이었음..... 작수 국수영까지 보고 영어땜에 떨궜다...
-
(수정은 비밀)
-
명상<-최고 2
1교시 국어 종 치기 2분전쯤 눈감고 숨을 2초 크게 들이쉬고 4초 뱉기 2번씩만...
-
0~12분: 개념 16문제(다 손가락 걸기) 12~14분: 개념 1문제(제대로...
-
으으ㅡ으ㅡ 진짜 2~3만 나와도 되는ㄷ......
-
어느 영화와 같은 일들이 이뤄져가기르으을 힘겨워한 날에에 너를 지킬 수 없었던...
-
사고 실험 여태까지 Accident experiment 인줄 처음에 사고실험을...
-
안녕하세요 4
디도
-
갈 수 있다면 어디 가심?
-
슈뢰딩거가 양자역학 실험에서 유명해서 양자역학 주장한 사람인줄 알앗는데 오늘 국어...
-
맞팔9 8
금테 ㄱㅈㅇ
-
저희는 '응, 알아.'에서 끝내지 않겠습니다. 반갑습니다. 국어 연구소 Team....
-
1. 시중에 있는 실모 거의 다 풀어봤다고 자부함. (대성이투스메가 꼴타까지 포함)...
-
EU에서도 일할 수 있고 어느 정도 머리만 있고 영어 잘한다면 충분히 해볼 만 할...
-
함께 있는 이 순간에 내 모든 걸 당신께 주고싶어
-
진짜 큰거안바라고 500억만ㅜ
-
통합수능되고 나서 1컷 원점수는 평가원에서 공개안하나요?
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.