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심심한 [1339220] · MS 2024 · 쪽지

2024-11-25 15:04:23
조회수 748

올해 수학 21번 정확하게 풀기

게시글 주소: https://i.orbi.kr/00070139414

1) 풀이.

f(x)는 삼차함수이므로 중간값정리에 의해 실근을 하나 이상 가진다.

f가 alpha≠-1인 실근 alpha를 하나 이상 가진다고 하자.

그러면 조건에 의해 f(alpha)=0 -> f(2alpha+1)=0 -> f(4alpha+3)=0 ->...임을 알 수 있고,
alpha≠-1일 때 alpha -> 2alpha+1로 가는 함수는 증가 또는 감소하므로 이 값들 (alpha, 2alpha+1, 4alpha+3,...)은 모두 다르다.

따라서 f는 근을 무한히 가지고 0다항식이 아니기 때문에 Lagrange's theorem에 의해 모순이다.

따라서 f는 -1만을 근으로 가진다.

2) Lagrange's theorem.

0다항식이 아닌 복소계수 n차 다항식 f(x)의 복소수근은 n개 이하이다.

pf) n에 대한 귀납법.

n=0이면 f(x)가 0다항식이 아니므로 근은 0개.

n-1일 때 가정하고,

f(x)가 n차 다항식이라 하자.
만약 f(x)=0의 근이 없으면 증명은 끝난다. 근이 있다면 그 근을 alpha라 하자.
나머지 정리에 의해 f(x)=(x-alpha)Q(x)+R인 복소계수 다항식 Q(x)와 R이 존재하고,
Q는 n-1차 다항식이고, f(alpha)=0이므로 R=0이다.

f(x)=0 <=> (x-alpha)Q(x)=0 <=> x-alpha=0 or Q(x)=0이므로,
귀납가정에 의해 f의 근은 1+(n-1)=n개 이하이다.

3) Lagrange's theorem과 Fundamental theorem of algebra.

위의 정리보다 좀 더 강한 명제인 0다항식이 아닌 복소계수 n차 다항식 f(x)의 복소수근은 정확히 n개이다.
라는 사실은 거의 모두가 알고있는 명제이지만 고등학교 2학년 수준의 개념만으로도 쉽게 증명할 수 있는 Lagrange's theorem에 비해 이 명제의 증명은 매우 어렵다.

이 명제를 대수학의 기본 정리라고 알고있는 경우도 많은데 이 명제는 그저 대수학의 기본 정리의 따름정리일 뿐이고, 대수학의 기본 정리의 진짜 의미는 다음과 같다. (대수학의 기본 정리가 성립하면 자명히 성립)

대수학의 기본 정리 (Fundamental theorem of algebra.)

상수가 아닌 복소계수 다항식은 항상 복소근을 하나 이상 가진다.

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