평균값정리의 본질에대해 몇가지 질문좀 드리겠습니다
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f(x) 가 [a,x]에서 연속 (a,x)에서 미분가능할때
f(x)-f(a)
--------- = f `(c) ( a
0 XDK (+0)
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f(x) 가 [a,x]에서 연속 (a,x)에서 미분가능할때
f(x)-f(a)
--------- = f `(c) ( a
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아주 작은 구간에서 보면 왠만한 함수는 다 이차식에 가깝습니다. (삼차식부터는 고려하기 너무 작은 대상이지요)
이차식에서 a,x 두점사이 평균변화율은 f'((a+x)/2)이지요.(증명은 간단하므로 생략합니다)
과고 지망생이신지, 아님 과고생이신지. 만약 과고생이시라면 맥클로린 급수쪽을 공부해보시길.
혹시 예외가되는 함수는 있나요?? 궁금해서 ㅠㅠ
저희 학교 수행평가랑 기말고사 때도 걍 시간없어서 1/2 쓰고 냈는데 맞고 막 그래서 저도 혼란이커요 ㅠㅠ
아 그리고 과고 이제 얼마후 졸업합니다 ㅎ
f'(x)를 (당연한 얘기지만) 함수로 보면,
f(x)는 f'(x)를 적분한 꼴이고, 따라서 위의 식은
a에서 a+h까지 적분한 값=적당한 중간의 값x길이h
로 정리가 됩니다.
다시 말해, 1/2가 되는것은 작은 구간 내에서 f'(x)가 직선에 아주 가깝다는 말입니다.
하지만 f(x)=lim(t->x)t^2 sin(1/t)같은 함수는 그래프를 그려보면 상당히 비정상적인 모습을 그립니다.
이 함수는 f(a+h) = f(a)+hf ` (a+Θh) (0<Θ<1)에서 a=0을 넣으면
f(h)=hf'(Θh) (0<Θ<1)이고, f(h)와 f'(Θh)를 잘 정리해보면 Θ의 값이 수렴하지 않음을 구할수 있습니다.
생각해보니 단순히 f(x)=ax+b(a,b는 상수)같은 경우만 해도 Θ의 값이 수렴하지 않는군요-_-;;
헉ㅋㅋㅋ 그렇네요
실제로 정석에있는 f(x)가 루트엑스, 엑스세제곱, 등등 그리고 제가 직접 e^x , lnx 의경우도 다해봤는데 1/2 가 나오더라구요
암튼 감사합니다 ㅎㅎ