미분법과 관련된 간단한 질문이 하나 있습니다

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f(x) = x ²sin1/x (x≠0)
0 (x=0)

x가 0이 아닐때는 f(x)가 x^2sin1/x 인 것이고
x가 0일 때는 f(x)가 0입니다

x가 0이 아닐때의 식을
단순히 미분법의 공식으로 풀면

f ' (x)=2xsin1/x-con1/x
이렇게 나오므로 f ' (0)은 cos1/x 때문에 어떤 값이 나올지 알수 없습니다

그런데 미분의 정의를 이용하여 풀면,
즉 lim f(x) - f(0) / x
(x→0)

위와같이 극한을 이용하여
f ' (0)을 구해보면 f ' (0)=0 이라고 나와버립니다

제가 어떤 부분에서 실수를 한건지 잘 모르겠습니다

혹시나 해서 lim f(x+h) - f(x) / h 를 이용해서
아예 f ' (x)를 구해봤더니
2xsin1/x 가 나옵니다

할때마다 값이 달라져서 미치겠습니다
어떻게 풀어야하나요?

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Xavi · 190240 · 11/02/03 19:10 · MS 2007

에프프라임 영 존재하는거 맞습니다.
도함수도 제대로 구하셨고요.
다만 x=0일 때는 위에 있는 방식대로 미분을 할수는 없는거고, 정의를 이용해서 미분하면 에프프라임 영은 영 맞습니다.
그런데 에프프라임엑스가 영으로 수렴할때 함숫값은 0으로 수렴하지 않죠.

이 함수는 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수의 사례로 자주 언급되니...꼭 알아두세요 ㅋㅋㅋ

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에딩턴 · 360004 · 11/02/03 23:54 · MS 2010

좋은 답변 감사합니다!
제가 미분쪽에 관해 제대로 공부가 안되어 있는것 같네요
미분 공부를 더 많이 해놓아야겠어요

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스트라디바리우스 · 309984 · 11/02/03 23:49 · MS 2009

윗분이 잘 설명해주셨군요.
x=0일때는 애초에 f(x)가 다르게 정의된다는점이 문제겠죠.

쓸데없을지도 모르는 사족을 하나 달죠.
f(x)를 다음과 같이 정의합시다.
f(x)=x(x≠0), 2sin x(x=0)(사실 이 함수는 f(x)=x라서 임의의 실수a에 대해 f'(a)=1입니다)
이제 이 함수를 미분해봅시다
f'(x)=1(x≠0), 2cosx(x=0)
이제 f'(0)을 구해보면,
f'(0)=2cos0=2?

미분은 해당점 자기자신과 주변의 점이 모두 필요합니다.
글쓴이분의 실수는 0 '주변의 점'으로 미분을 하려고 했던거고
사족댓글의 실수는 0 주변의 점을 무시하고, 단순히 x=0이라는 한 점에서 미분을 시도하려 한 데에 있습니다.

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에딩턴 · 360004 · 11/02/03 23:55 · MS 2010

이제 이해가 잘 되네요~
조금 더 간단한 예시를 통해 설명해주셔서
이해하기 훨씬 편했습니다
감사합니다

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