y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? & 유리화는 왜하는걸까?
게시글 주소: https://i.orbi.kr/00011115763
안녕하세요. 일반청의미입니다.
이 칼럼은 이 글에 담긴 생각을 바탕으로 쓰게 되었습니다.
공부의 양은 어떻게 정할까? : http://orbi.kr/0008692499
공부의 양은 생각의 양과 같고, 생각과 고민은 질문에서 나옵니다!
공신 방송 다녀온 후기 & 수학 칼럼 연재합니다. http://orbi.kr/00010768917
가장 쉬운 방식으로 개념을 이해해야해요 : http://orbi.kr/00010794675
이차방정식의 해법 해설 + 평행이동할때 왜 점은 +a인데 그래프는 -a일까? : http://orbi.kr/00010789384
평행이동 해설 & 어떻게 곡선 위의 점의 접선은 한 점으로 정의될까? : http://orbi.kr/00010841663
저번주의 칼럼은 바로 이거였어요!
곡선 위의 점의 접선 해설 & y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? : http://orbi.kr/00010980265
정답갑니당.
A : y=0 말고 y=1/2x도 접선, y=-1/2x도 접선…. 그러면 접선이 매우 많아지죠.
원점을 지나고 기울기가 -1에서 1 사이인 직선 모두가 접선이 됩니다.
모두가 원점을 스치면서 지나가니까요
접선의 정확한 정의는 미분계수를 기울기로 갖는 직선입니다.
미분계수는 그래프 위 두 점 사이의 기울기의 극한이며, 접선의 정확한 정의는 할선의 극한입니다.
할선의 극한이라는 말이 애매하지만, 극한의 정의로 미루어보면 극한값이 존재하려면, 좌극한과 우극한이 같은 값으로 수렴해야 합니다.
직선으로 확장시켜보면, 좌측에서 가까워져 가는 할선과 우측에서 가까워지는 할선의 극한 모두 한 직선으로 일치해야 합니다.
이렇게요!
좌극한과 우극한이 다르면 극한의 정의에 의해 어떤 것에 가까워진다고 단정짓기 애매하니까요! 그 사이 어떤 값을 택해야할지 애매한 것입니다.
우리는 한점에서 직선을 그을 수 없습니다. 하지만 접선은 그을 수 있게 된 이유는 극한을 통해 그 직선을 정확하게 하나로 결정할 수 있었기 때문입니다. 결정할 수 없다면? 당연히 한점에서 직선을 그을 수 없으니, 접선이 정해지지 않겠죠! 보통 뾰족점에서 접선이 무한히 많이 생깁니다. 이것을 첨점이라 하며, 그 점에서 함수는 미분 불가능합니다.
x값에 그 값에서의 미분계수가 y값이 되어 대응되는 함수를 도함수라 합니다.
도함수도 함수입니다! 즉 x값 하나에 y값 하나가 대응되어야하며, 도함수가 존재하려면 원함수가 정의되는 곳에서 모두 미분 가능해야 합니다.
접선이 많으면, 대응되는 접선의 기울기가 1개 이상이기 때문입니다.
Q : 그렇다면 왜 y=|f(x)|에 미분 불가능한 점이 생길 가능성이 있을까요?
절댓값의 정의는 수직선 위의 원점에서 어떤 점까지의 거리입니다. 항상 양수에요.
절댓값 기호 안의 값이 음수일 때는 마이너스가 붙어서 양수가 됩니다.
절댓값 기호 안의 값이 양수일 때는 f(x), 절댓값 기호 안의 값이 음수일때는 –f(x).
즉, 함숫값의 부호가 바뀔 때 함수또한 바뀐다는 것입니다!
서로 다른 함수 y=f(x)와 y=–f(x)가 이어져 있습니다. f(x)가 모든 실수에서 미분가능한 함수라 하더라도 y=f(x)와는 다른 함수 y=-f(x) 두개가 이어져있을때 미분 가능한지는 알 수 없습니다.
즉 함수가 바뀌는 부분에서 미분가능한지를 조사해야합니다.
함수가 바뀌는 부분이 어디인지에 주목하면 미분가능성 문제를 수월하게 풀 수 있습니다.
1. f(x)와 에 절댓값이 붙어있다. 이 절댓값 함수는 어디에서 바뀔까?
2. f(x)는 x=-1에서 함수가 바뀐다. 그러면 이것을 기준으로 나눠주면 될거야.
3. 는 어디에서 함수가 바뀔까?
……………….
이런 식으로 문제풀이가 진행됩니다.
1. g(x)가 절댓값이 두개 붙어있다. g(x)는 x에 따라 함수식이 바뀔거야.
2. 바깥의 절댓값을 생각하기엔 안의 절댓값 때문에 정확하게 알 수가 없다.
3. 일단 맨 안쪽의 절댓값부터 생각해보자. X=0 좌우에서 함수가 바뀔거야.
4. X=0 주변에서는 함숫값이 1 근처일거야. 그 주변에서는 항상 양수일거야.
5. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?
6. X가 0이상에서는 함수가 언제 바뀔까?
7. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?
사실 문제를 풀 때, 계산을 전혀 할 수 없어서 문제를 못푸는 경우보다는
문제를 풀기위한 아이디어가 부족해서 못푸는 경우가 많습니다.
그러므로 그 아이디어를 계속 고민해야하며, 그 근거는 개념에 있습니다.
사실 많은 분들이 예견해주신듯 합니다..ㅋㅋㅋ
요약하자면, 극한값은 좌극한과 우극한이 일치해야 존재합니다.
일치하지 않으면, 그 사이의 어떤 값으로 가까워지는가를 설명하기 힘들기 때문입니다.
그러면 다음주제를 소개해볼게요
유리화는 왜 하는걸까?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
섹시해?
-
6,9모가 다른년도에 비해서 어려웠던거 같은데 전적으로 보면 6,9모가 쉬우면...
-
현역이구 9모 성적 언매 확통 생윤 사문 35313 나왔습니다 이번 9모 의미...
-
옛날엔 덤덤충이었는데 세상이날예민하게만듦;
-
수학 재활을 한다는 느낌으로 비슷한 난이도의 모의고사 풀 때 n점맞았으면 그 다음엔...
-
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
"연세대학교" 4
-
저만 어려운 거 아니죠..? 컷이 없으니까 난이도 가늠을 못하겠네
-
난이도가꽤높은것들 있지않나 채식주의자도 마냥쉬운소설은 아닐텐데
-
룸메가 킁킁거림 하 ㅋㅋㅋ
-
내년부턴 하루키 얘기 하나도 안 나올 듯… 노벨문학상은 절대 안 줄 것 같음
-
이거 난이도 왜 이런가요 킬러로 나올 파트도 아닌데 앞선 ph나 몰농도, 중화적정...
-
그럼 진짜 개 나이스긴 한데 안 그러면 다시 봐야함
-
또 유일 100점이네 ㅅㅂㅋㅋㅋ 진짜 ㅈㄴ존경스럽다
-
수2 자작문제 0
D - 35 가볍게 풀어보시면 좋을 것 같습니다. 오류 있으면 알려주세요
-
이거 오늘 내일내로 다시 복구 가능한가..? 특히 프렉탈이랑 급수를 ㅈㄴ 못함..
-
와 한강님(?) 6
엄마 동창분이시라네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ ㄹㅈㄷ
-
체그옷 2종이랑 저 초록티애가 입은 바지 뭔지 아시는분??? 저 바지 특징이 저 줄...
-
1. 나선팔이 가장 느슨하게 감긴 정상 나선 은하는 S7형이다. (O / X) 2....
-
다시는 멋대로 상상하지 않겠습니다 오르비 감사합니다 사회성+1
-
[서울교육감 여론조사]정근식 31.1%, 조전혁 30.2%...0.9%p차 4
뉴스피릿, 에브리뉴스 공동의뢰로 여론조사 전문기관 주)에브리리서치에서 10월...
-
성적이 안될 거 같아요. 아니 안돼요. 택도 없어요.
-
문학 기출에서 옳지않는걸 고르는 문제를 푸는데 만약 2번선지에서 “쓰읍 이거같은데...
-
노벨상 공부법으로 수능 국어 만점 쟁취하자
-
아직 출제 안 들어갔으면 한강 작품 나올수도 있는거아님? 8
교수들 은근 사회적이슈 신경쓰지않나?
-
한강 작가님 작품 후딱 사러가야겠네.. 이거 연계된다ㅋㅋ 한강 작가님 축하드립니다.
-
고려대를넣으면고려대가터질거같고그래서연세대넣으면연세대가터질거같고
-
찬양해라 연국문
-
저게 어디껀지 도통 찾을수가 없어서 못삼
-
뭐가 더어려운거같음 가재맨에서 봄 ㅇㅇ
-
드라마 열풍으로 한의대 입결이 최상급이었던 시기도 있었는데 노벨상이면 ㄷㄷ
-
연세대 관악캠 vs 연세대 안암캠
-
노벨 문학상이 6
그렇게 대단한거임? 과학 아니면 그게 그거 아님?
-
사고싶다.. 사고싶다.. 다시 팔아줘..
-
ㅈㄱㄴ..
-
9덮성적표 오늘 준다매 ㅜㅜ 왜 내일이너 ㅅㅂ
-
수특 독서 인문 6지문 / ebs 복습(수특 현대소설 -01) / 상상 day...
-
점원 직접불러야하잖아 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
안정적으로 96을 노려보세요 한 문제 안푼다 생각하면 여유 엄청 남고 100 100...
-
오르비를 떠나겠음 ㅂㅂ
-
댓글에도 내가 차단한 사람이 있음 진짜 완벽한 두박자
-
네네
-
노벨문학상은 뭐야
-
번역이 되고 그 심사위원들이 읽은 거 아님? 그 섬세한 거 어케 번역하냐 ㄷㄷ 특히...
-
자연계 전과목만점자 연세대학교 국어국문학과에 진학하기로 결정해..
-
강k 진짜 뭐지 1
15번까진 웬만한 실모보다 빠르거나 같은데 킬러만나면 그냥 썰림 하루에 두개씩...
-
오늘 안 마셨더니 죽을 맛..
-
독서 좀 더 푸니까 감 확올라와서 기분좋다
Lim (a-b)와 같은 형태에서 a,b 둘다 발산하는 형태이면 극한의 연산과 관련된 형태를 사용할 수 없기 때문에 유리화를 통해 극한의 연산 법칙을 적용 가능한 형태로 바꿔주는것 아닌가요...? 그나저나 일반청의미님 글이 모아보기에서 계속 안보여욤 ㅠㅠ
그래도 lim c/d 에서 c, d 둘다 발산하는 형태일걸요!
사실 lim (x-1)/(x-2)같은거에서 최고차항 지수/계수비교하는게 일상화되어서 놓칠수 있는 부분이지만 x값이 임의의 상수값이 아닌 무한대로 발산했을때의 극한의 경우 lim1/x=0과 같은 몇개의 공리를 적용할 수 있는 형태로 변형한다 (ex.x-1/x-2를 (1-(1/x))/(1-2/x))와 같은 형태로 )뭐 그렇게 배웠던 기억이 나서욤! 유리화도 비슷한 맥락으로 이해했던것같은...
넹 더 자세하게 설명해주면 되십니당.
또한 분모의 유리화는 왜 하는지도 생각해주시면 좋아요.
유익한정보 고맙습니다~~ 이런글은 닥팔이야! ^,^