[박주혁x손우혁 칼럼] 미분가능성의 미래?!

네 안녕하세요 Team Rise 팀장 박주혁t 입니다.

칼럼을 올리기에 앞서, 

두가지만 먼저 이야기 하고 가겠습니다^^

첫번째, RISE 모의고사는 예판중입니다.

주소 : https://atom.ac/books/5618/

두번째, 토끼스티커 제작 확정입니다.

(대학일기 자까님이 그려주신)

관련글 : https://orbi.kr/00018026849

스티커관련해서는 다음주에 글을 하나 더 쓰겠습니다.

자, 오늘 칼럼은 "손우혁"샘이 고생해 주셨습니다.

자 시작!

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안녕하세요 

라이즈 모의고사 공동저자 손우혁입니다.

정신 차려보니 9월 평가원 시험이 코앞에 다가와있네요.

지난 6월 평가원 시험에서 가장 어려웠던 문제는 

30번이 아닌 21번이었습니다. 

큰 틀로 보자면 그래프 그리고 미분 가능성을 따지는 

문제였지만 

아주 살짝 변형을 가하여 완전 새로운 문제로 

바뀌게 되었었는데요.

여전히 평가원에서 좋아하는 주제인 미분가능조건을

과거, 현재, 미래로 나누어 향후 출제될 방향을 

예측해보고자 합니다. 

1. 미분가능조건의 과거 

예제 수준의 문항이 아닌 현재 킬러문항 수준에 

근접한 난이도의 문제는 

2011년 수능 24번 문항이 최초였습니다. 

참고로 이때는 수능의 형태가 지금과 달라서 

선택과목이 존재하고,

난이도가 문항에 따라 들쑥날쑥 했으며, 

1등급 컷은 불과 79점 밖에 안되었던 해입니다. 

개정교육 이전에 오답률 best 3 안에 들던 문제였으나 

문항 자체의 난이도 보다는 다른 문제가 어려워 시간 

확보가 되지 않아서 오답률이 높았던 문제입니다. 

절댓값을 사용하여 꺾어 올렸을 때 발생하는 첨점의 

개수를 확인하면 되는 문제로 두 가지 특징이 있습니다. 

첫 번째, 예상되는 여러 가지 형태의 개형 중 

문제 조건을 만족하는 경우 찾기

두 번째, 그래프만으로 해결 가능 

첫 번째 특징은 지금도 여러 문제에 사용되고 있는 

아이디어이지만 

두 번째 아이디어는 지금은 찾아볼 수 없을 만큼 

쉬운 유형이 되어버렸죠 

이 문제가 출제된 이후 3년 정도는 모든 모의고사에 

고난도 문항으로 유사한 문제가 하나씩은 출제가 되었죠,

그러다가 2015년에 수능 시험이, 

미분가능조건 문제의 경향성을 한 번 비틀게 됩니다. 

이때는 2011년과는 정반대로 1등급 컷은 100점이었고 

문항자체의 난이도가 쉬웠다기 보다는, 

다른 문제가 너무 쉬워서 정답률이 높았던 문제입니다. 

기존의 기출문제로 열심히 공부한 학생이라면 

절댓값이 사용되었을 때, 

그래프를 떠올렸을 것인데 정작 그래프 그리는 것은 

매우 힘든 유형의 함수이기 때문에 당황을 했겠죠.

그런데 시간이 너무 많다보니까 

‘설마 그냥 절댓값 벗겨서 범위 나누어 경계값 마다 

미분가능여부 확인해주는거아?’ 

라며 반신반의하며 무식하게 풀다보면 

어느새 풀리는 문제입니다.

유행이 그래프에서 수식으로 옮겨가게 된 것입니다.

2. 미분가능조건의 현재 

킬러 문항의 번호와 패턴이 정착되고 단 세 문제만 어렵게 

나오는 시험이 지속되면서 수능시험은 한편으론 대비하기가 

편한 시험이 되어버렸습니다. 

(이부분은 우혁샘 개인의 의견입니다. 

저는 여전히 쉽지 않다는 쪽입니다ㅎ)

사용되는 함수와 질문하는 패턴이 일정하여 연습을 통해 

다른 시험은 못봐도 수능만큼은 잘 볼 수 있게 

되는 것이 가능해졌죠. 

이때부터 마치 평가원이 학생들과 전쟁을 하는 것이 아닌가 

느껴질 만큼

 ‘너네 이거 대비되어있지? 그럼 뒷통수를 때려주겠어!’라는 

느낌으로 

킬러문항 들이 출제되기 시작했습니다. 

그리고 2016년 9월 평가원 30번에,

겉으로 보기에 어마어마한 

규모의 함수를 사용한 문제를 하나 출제합니다. 

합성함수가 두 번 미분 가능함을 사용하여, 

사차함수의 미정계수를 결정하는 문제인데 도함수의 정의를 

사용하면 풀이가 너무 길어지기 때문에 문제에 주어진 

이계도함수의 연속성을 사용하여 약간은 간편한 풀이가 가능한 문제였죠. 

미분가능함을 사용할 때 정의에 의존하지 않고 

도함수를 미리구한 뒤 

좌우 극한 값으로 좌미분 우미분을 대체하는 방법이 

간편한 방법입니다. 

안쪽에 있는 함수가 연속인데 미분 불가능할 경우 

항상 균일한 조건을

얻을 수 있어서 연습을 조금만 하면 제아무리 

이상한 함수가 나오더라도

쉽게 풀 수 있게 되는 유형이죠. 

그런데, 

이번 6월 모의고사 21번에서 평가원은 다시 한 번 

학생들 뒷통수를 칩니다. 

비슷한 유형 같아 보이지만 루트를 하나 덮어씌워놨죠. 

이 조건 하나만으로 도함수의 형태에 차이가 발생하고,

결과적으로 극한을 취할 때 부정형이 발생할 여지가 

생기게 됩니다. 

이 문제는 두 가지 이슈를 담고 있습니다. 

첫 번째, 여전히 미분가능성을 따질 때 

미분계수의 정의를 사용할 필요는 없었다. 

두 번째, 부정형극한 단계에 도달하면, 

식을 구체적으로 써넣은 뒤 무한소를 제거하는 

과정이 필요하다. 

수식을 사용하여 미분가능성을 따지는 과정에서 

여전히 편한 방법은 존재하지만 귀찮은 정도가 

증가했다라고 볼 수 있습니다. 

3. 미분가능성의 미래 

평가원의 중요한 출제 원칙 중의 하나가 주요 주제는 

반복적으로 출제하되 형태와 발상을 다르게 한다는 것입니다. 

미분가능 여부는 주요한 주제라 볼 수 있고 위에서 보았듯이 

같은 주제 하에서 발상을 조금씩 발전시키며 

반복적으로 문제를 출제하고 있습니다. 

심지어 발전시키고, 

뒷통수 치는 유형이 개발되는 주기는 점점 짧아지고 있습니다. 

그렇다면 이러한 추세로 볼 때 

향후 출제될 가능성이 높은 주제는 무엇일까? 

편한 방법으로, 다시 말해서 도함수의 극한으로 

좌우미분을 대체하는 경우 마지막 과정은 극한계산입니다. 

극한 계산은 그냥 수렴하는 경우, 

부정형극한, 발산하는 경우로 나눌 수 있습니다. 

이 중 두 가지가 나왔네요. 그렇다면 그 다음 유형의 후보는

발산하는 경우가 될 수 있겠네요. 

또한 사용하는 함수를 불연속 점이 존재하도록 하면 

낯선 느낌이 들 수 있겠죠. 

발산하는 경우 중 무한대가 되는 것은 

이번 6평 21번에 부분적으로 사용이 되었습니다. 

아직 시험에 출제되지 않은 경우는 

이제 진동하는 경우 하나입니다. 

점별로 살피는 것이기 때문에 무한 구간에서 

진동하는 것은 의미가 없고 유한 구간에서 

무한번 진동하는 함수가 후보가 될 텐데요. 

생각보다 아주 쉽게 만들어집니다. 

이 함수는 편한 방법으로 미분가능을 따지는 것이 불가능 합니다. 

f(0)=0 라고 두더라도 x=0 근처에서 개형을 상상하는 것이 

불가능하기 때문인데요. 

위의 함수를 합성하거나 다항함수 정도를 곱한 뒤

 미분가능함을 따져보면 도함수의 연속을 사용한 

간편 풀이를 했을 때와 정의를 사용했을 때 다른 조건이 나오게 됩니다. 

이 경우 정의를 사용하는 것이 무조건 맞겠죠. 

그래서 저의 예상은 이렇습니다. 

평가원에서 향 후 출제할 미분가능조건을 가진 문제의 

후보 중 하나는 점 근처에서  무한 번 진동하는 함수이다. 

이 때 그동안 사용하던 편한 방법을 

사용하면 안되고,

반드시 미분의 정의를 사용하여 해결해야한다. 

이것과 관련된 문제가 예전에 서울대학교 

수리논술 시험에 출제된 적이 있습니다. 

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m,n이 자연수일 때, 위의 함수가 실수전체에서 

미분가능하기 위한 자연수 m의 최솟값을 구하시오. 

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이 문제를 도함수의 연속성을 

이용하여 풀면 3이 나오고 정의를 사용하면 2가 나옵니다. 

진동과 관련된 문항이 나오면 형태는 다르더라도 

기본 골격은 이와 유사한 문항이 출제될 가능성이

높을 거라 생각합니다. 

긴 글 읽느라 수고 많았어요.

결국 마지막에 한 말만 기억하면 됩니다. 

"진동하면 그 어떤 편한 방법도 사용해선 안된다."

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그래서, 교과과정이 제일 중요하다고 

제가 그렇게 떠드는 겁니다^^

여튼 다음에 또 찾아오겠습니다!!

더운데 화이팅입니다!!