수능 수학은 지극히 당연한 발상으로 풀린다.
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수능은 지극히 당연한 발상으로 풀리는 대표적 예와 그에 따른 공부 방법
이면각의 크기
먼저 교과서의 [이면각의 크기]에 대한 정의를 보면 아래와 같습니다.
여기서 이면각의 크기를 요약하면
[두 평면의 교선 l 찾기] -> [교선 위의 한 점에서 수직인 두 직선 찾기] -> [두 직선이 이루는 각]
입니다.
이제 평소에 여러분들이 자주 공부하는 정사면체의 이면각의 크기를 한 번 구해보겠습니다.
그림에서 평면 ABC와 평면 BCD의 이면각의 크기를 찾는데, 먼저 BC가 교선임을 쉽게 알 수 있습니다.
그리고 BC 위의 임의의 점 M에서 각 평면에 수직인 선을 긋는데, 왼쪽 그림 보다는 오른쪽 처럼
점 A에서 선분 BC위에 수선의 발을 내린다고 생각하는 것이 이면각의 크기를 구하기 편한 것을 알 수 있고
(즉, 변 BC의 중점에서 각 평면으로 수직인 선을 그엇다고 생각)
따라서 오른쪽 그림의 삼각형 AMD에서 코사인 법칙을 활용하면 이면각의 크기 (각 AMD의 크기)를 구할 수 있는것이죠.
이제 평가원 기출문제를 풀어봅시다.
2010년 9월 평가원 문제입니다. 당시 1등급 컷이 78이었고, 이 문제는 스티커 문제와 함께 정답률이 가장 낮았었는데요.
(기출문제를 따로 따로 푸신 분들은 잘 모를수도 있지만,
당시 시험현장에서 풀었던 분들은 그 엄청난 난이도를 기억하실 겁니다. 시험 자체의 난이도가 매우 높았으니까요.)
마지막 질문을 보면 결국 [평면과 평면이 이루는 각]을 묻는 것을 알 수 있습니다.
따라서 먼저
첫번째, 교선을 찾아야 합니다. 그 교선은 직선 CD임을 쉽게 알 수 있습니다.
두번째, 교선 위의 한 점에서 양쪽 평면으로 수직인 두 선을 찾아야 합니다.
즉 이와 같이 정사면체의 꼭짓점 A에서 선분 BC에 수선의 발을 내리듯
꼭짓점 A에서 직선 CD에 수선의 발을 내리면 M이 나오고, 그 이후 삼수선의 정리에 의하여 위와 같이 작도할 수 있습니다.
이처럼 교과서에 제시되어 있는 [이면각의 크기의 정의에 따른 기본적인 작도]가 최우선이 되어야 하고,
그 이후에 문제를 어떻게 풀어나가든 해야 합니다.
(여기까지 자연스럽게 작도가 되지 않았다면, 이면각의 크기에 대한 공부가 부족한 것입니다.)
이러한 이유때문에, [정사면체의 이면각의 크기 a에 대하여 cosa=1/3] 임을
외우든지 하는 공부 방법은 좋은 공부 방법이 아닙니다.
여러분들이 정사면체의 이면각의 크기를 구하든, 정팔면체의 이면각의 크기를 구하든
항상 "교과서"에 있는 [교선찾기 -> 수직인 두선 작도하기 -> 두선이 이루는각 구하기]라는 원리를 연습하기 위해서
공부해야하는 것이지, 절대 그 결과를 외우기위해 공부해서는 실력이 늘지 않습니다.
(증명과 원리의 반복에 의해 결과가 자연스레 외워지는 것은 상관없습니다.)
또한 위와 같이 [어려운 문제 - 기출문제]든 [쉬운문제 - 정사면체]든 결국 교과서에 제시되어 있는
공통된 원리를 적용해서 풀 줄 아는 것이 수능에서 가장 중요합니다.
수능의 출제범위는 교과서임을 명심하는 것이 결국 수능을 잘보는 방법입니다.
(교과서만 공부하라는 말과는 완전히 다릅니다.)
첨언
1. 이면각의 크기 문제는 정사영의 넓이나, 좌표공간에 올려서 평면의 방정식,
외적등을 활용해서 푼다든가 하는 방법도 있습니다만 [이면각의 크기]의 정의대로 푸는 것이 수능 출제의도입니다.
여러가지 방법으로 문제를 풀더라도 무엇이 교과서에 맞는 풀이인지 잘 알아두세요.
2. 9월 평가원 다들 잘보세요. 평가원은 "교과서"에서만 출제됩니다.
여러분은 이미 교과서의 개념을 제대로 알고 있고, 그 개념을 당연하게 적용하기만 하면 됩니다.
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좋은글 감사해요!! 모르비라서 사진이 안떠서 안타깝네요ㅠ 구평 대박!! ( 이해원모의고사 빨리 받아보고시퍼요ㅠ)
9평 잘보세요~~
잘 읽었습니다
닉네임이 인상적이세요 ㅋㅋㅋ
크롬인데 사진이 엑박이네요 ㅠ
다시 한 번 확인해주실수 있나요??
마켓 이해원 모의고사 답변좀주시면 ㅠㅠ
일단 고고씽님까지 답글 달아드렸어요
음.. 오늘은 종범각에 대한 주제로군요
종범각이먼가요 ㅋㅋ
ㅋㅋㅋ종범 ㅋㅋㅋ
수능문제...결국은 어떤 문제를 보고나서,, 도대체 내가 어떠한 생각을 해서..
이 문제가 나한테 교과서에 써있는 어떤 개념을 요구하는건지,이를 파악했다면 그 개념들을 어떻게 요리해야되는지...(이게젤힘든듯ㅋ)
이런류의... 생각을 넌 쫌 할줄아니???를 묻는것같은...ㅋㅋ써놓고보니주저리주저맄ㅋㅋㅋ
보통
수학1, 수학2, 기하와벡터, 적분과통계 교과서에 있는 개념이 핵심으로 쓰이는데
가끔은 고등수학이나 중등수학 개념이 더 중요하게 쓰이기도 하죠..
좋은 글입니다^^
이 문제와 마치 쌍둥이 같은 문제가 이번 5월에 치른 예비평가 B형 30번 입니다.
모두 "이면각" 의 정의를 이용하면 거짓말처럼 쉽게 풀리지요~
제가보기엔 예평 30번이 이면각으로 보기는 좀더 힘든거 같습니다.ㅋㅋㅋ
아무래도 구 속에 꽁꽁숨겨두어서 그렇지 않은가 싶네요
결국은 이면각의 정의로 가는것이 가장 좋은 문제입니다.
예평 30번은 이면각의 정의와 평면의 결정조건, 그리고 기초기하를 활용하여 해결하는 이면각의 정의를 활용하는 대표적인 문제 같은데요 ㅋㅋㅋㅋ
이면각을 써먹자! 하고 맘먹으면 풀기 쉬운건 위에 문제같네요
해원님말마따나 이면각이 숨어있어서 정사영이나 좌표그려서 접근하는게
먼저 떠오를 수 밖에 없었구요..
네 선생님, 저도 그 문제랑 이문제가 매우 유사하다고 생각합니다~~!
머리를한대 맞은기분이네요
감사합니다 뭔가 깨달음을얻었어요
머리를한대 맞은기분이네요
감사합니다 뭔가 깨달음을얻었어요
잘 전달되었다니 다행이네요~
문과편도 올려주시면 안될까요?
ㅜ.ㅜ 시간이 허락한다면...
저 내일 개강해요...ㅋㅋㅋㅋ ㅜㅜㅜㅠㅠㅠ퓨ㅜㅜㅠㅜㅠㅜㅠ
헉..시간이 남으신다면 한완수 qna해결좀 ㅠㅠㅠ퓨
넴 ㅋㅋ
이 문제가 스티커 문제 정답률이 나형이 더 높았다는 이유인 그 문제인가요?
25번 문제도 이유가 되겠고
전체적으로 매우 어려웠기 때문에 문과보다 정답률이 낮았던듯 합니다.
2010년 9월평가원이면 2010년에 보는거죠? 2010년에 보는 수능은 2011학년도 수능이고... 뜬금없지만 오늘 친구랑 그거가지고 얘기가나와서 ㄷㄷ
여튼 좋은말씀 감사합니다 잘읽었어요 ㅎㅎ
빡쌤도 이면각으로 다푸시던데 역시 . ..
개공감. 고1때 어려운문제집 몽땅 사갖고 풀다가 이게 아니란걸 깨닫고 본질로 승부했음
정의를 이용하는게 진리죠 ...학생들 입장에서 그걸 꺠닫기가 참 힘든거 같아요 ㅠ
다들 9평 화이팅
정사영의 넓이로 푸는건 교과서적인 방법이라고 볼 수 없나요?
그것도 교과서적인 방법입니다
위의 문제는 출제 할 때 총 3가지 풀이가 출제자한테 주어진 문제입니다
이면각, 정사영, 그리고 이 한가지는 좌표로 푸는게 있는데요
이 좌표로 푸는건 비효율적이므로 .... ㅎㅎ
그냥 문제를 나중에 수정할 때 사용하라는 의미로 제출한건데 무시되었죠머 ㅎ
정사영도 괜찮습니다. 그 풀이도 평가원에서 당연히 열어두었을테구요~
(하지만 이면각 풀이를 가장최우선으로, 가장중요한 풀이로 알아두셔야 합니다.)
좌표를 이용하면 평면의 방정식을 구하거나,
외적을 이용해서 법선벡터를 찾아야하니 매우 안좋죠..
아 이거엿군요............득도한기분이네요 정말 감사해요ㅜㅜㅋㅋㅋ
조아용~
감사합니다 문제집 열심히 풀고 있습니다 9월 모평 화이팅입니다ㅎㅎ
저기 교과서 줄친 내용에서요
A랑 B점은 고정시켜놓고 O점 교선위의 아무데나 놓아도 각 AOB가 일정하단 말인가요??
아뇨 절대아니죠...
위에 수직조건을 적용시킨게 A,B니까 O점위치가 바뀌면 당연히 A,B도 위치가 바뀝니다
내 눈이...님이 AB 고정시켜놓고 O를 동점으로 놓는다는걸..교과서에 쓰인 조건이 L에 수직인 두 직선이기때문에 점 A와 B가 고정된 상태에서 O점을 마음대로 놓는다는것은 말이 안 됩니다. 두 점 AB와 수직이이야만 하죠
난만한님! 글에서 요구하는 바는 굉장히 잘 알겠고 그렇게 느끼고 있습니다.
교과서를 공부했는데 문제(평가원기출만)를 풀때 내가 푼게 교과서적인 풀이인지 아닌지 까지는 분간을 하는데 문제에 제시된 원리나 출제의도(?)는 어떻게 파악하나요.
교과서 내용을 개념 설명과 증명을 중점적으로 공부하는데 증명에서 넘어가는 과정에서 발생하는 아이디어들이 문제를 풀때 도움이 된다는데 저는 실질적 대입이 안되는데 어떡하죠?
이과는 도형문제가3D로 나오네
Difficult, Dirty, Dangerous
ㅠㅠ
Disgusting추가여ㅋㅋㅋ공도벡좋아하긴하지만ㅠㅠ
4D가됬군여 ㅋㅋ
제가 재수하면서 크게 깨닳은것중에 하나랑 일치하는 내용이네요ㅎ 감사합니다
가형이네..
2해1
그분의 덧글이 있으면 더욱 흥할텐데!
ㄲㄲㄲ 항상 도움 많이 받습니다 덕분에 6월이랑 원점수 똑같고 등급 올랐네요ㅎㅎㅎㅎ