O/X 퀴즈(10000덕)
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무게를 알지 못하는 추가 있고, 충분히 많은 1g 추, 충분히 많은 루트(2)g 추, 그리고 아주 정교한 양팔저울만을 사용하여 그 추의 무게를 파악하고자 한다. 이때 추의 무게가 예를 들어 루트(3)g인 경우 균형을 맞춰 이를 정확하게 구하는 것은 당연히 불가능하므로, 특정한 오차범위(예를 들어 0.001g) 내로 무게를 구하는 것이 목표라 하자.
추의 무게가 얼마이든, 오차범위가 아무리 작든 유한 번의 과정으로 이 추의 무게를 계산해 내는 것이 가능할까?
(여기에서 특정 오차범위 내로 구한다는 것은, 예를 들어 추의 무게가 루트(3)g이고 오차범위가 0.5인 경우 추의 무게를 ‘1.5g (±0.5g)‘과 같이 구하는 것을 의미합니다. 이때 한쪽에 미지의 추를 두고, 균형이 바뀔 때까지 반대쪽에 1g 추를 놓는 방식으로, 어떤 추의 무게든 0.5g의 오차범위 내로 구할 수 있습니다.)
사실 고등 과정 내로 풀립니다. 물론 발상이 필요하지만…
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루트2는 무리수니까
두 정수 m,n에 대해
루트2*m - 1*n 을 내가 원하는 수에 한없이 다가가게 만들수있음
그러므로
모르는 추가 있는쪽에 루트2추m개
반대쪽에 1gn개를 맞을때까지 가져다놓으면 언젠간 알수있다
한없이 다가가게 만들 수 있다는 거에 확신이 있으신가요?
감각적 직관사실 이게 가능한지가 문제의 핵심 포인트에요
예를 들어서 루트2추 1000개 1추 1414개가 있으면 무게차이는 0.213g정도임
근데 무리수는 무한하니까
0.00000001xxx가 나타나는 구간으로 만들 수 있다!
이렇게 하면 될듯?
이게 가능하려면 루트(2)가 정규수(소숫점 표현에서 모든 수열이 동등한 확률로 나타나는 수)여야 하는데, 무리수라고 꼭 정규수인 건 아니고(ex)0.10100100010000100000...), 실제로 루트(2)가 10진법에서 정규수임은 아직 증명되지 않았어요
그러면 질량이 파이같은 추면 가능한 방법이긴 하군요
놀랍게도 파이도 아직 정규수임은 증명되지 않았어요
간단한 초한기수 연산만으로 거의 모든 실수가 정규수임을 알 수 있지만, 실제로 어떤 실수가 정규수임을 밝히는 건 매우 까다로워요
오히려 이 문제에서 추 무게가 파이였으면 교과 내에서 풀기가 매우 어려워졌을지도?
헐 PI가 정규수가 아니라니내 세상이 무너졌어...
유리수는 a/b, a,b는 정수
로 나타낼수 있다
무리수는 그게 안된다
그러면 루트2는
(a+0.xxxx)/b 로 나타낼 수 있다
그러면 루트2 * 자연수=(a+0.xxx)/b로 나타 낼 수 있고,
만약a가 b의 배수라면 1을 반복해서 뺴서 0.xxx/b를 만들 수 있고,
a와b가 많이많이 커진다면 0.xxx/b는 0에 수렴할 것.
적당한 자연수와 적당한 b에 대해서
a가 b의 배수일 수 있는 가능성이 존재한다면 증명을 하는건데... 뭔가 산으로 가는 기분이네요
힌트) 3-2루트(2)<루트(2)-1
어렵네
임의의 x,y에 대해 x<a루트2+b<y 인 정수 a,b가 항상 존재하면 될 것 같은데(x/a)-루트2 < b/a< (y/a)-루트2 인 유리수 b/a가 존재하면 되고 이는 유리수의 조밀성 에 의해 참
안돼 덕코 ntr 당했다
다시보니 증명을 잘못한듯 근데.. 부등식 양변에도 a가 있어서 저러면 안되네요
잘 보면 a가 먼저 결정되기 때문에 안되요
‘임의의 x, y에 대해 x/a-루트(2)<q<y/a-루트(2)를 만족하는 a, b가(q=b/a) 존재한다‘까지는 말할 수 있지만, 이때 유리수 q는 아무 유리수가 아닌 분모가 a인 유리수로 강제되고, 이는 당연히 조밀하지 않아요
이렇게 접근해도 될련지 모르겟네요
반복되지 않아도 저렇게 안 될 수도 있어요
0.8989989998999998999999...같은 수를 생각해 보시면 되요
흠 그렇군뇨...
위의 경우처럼 큰수가 반복되면 몇배를 취하면 작은수로 만들수있지 않나요? 거기서 다시 위의 사진 과정을 반복하는거죠... 그 자연 상태에서 1이 가장 많이 나올수있다는 이론이랑 비슷한 논리로다가...
벤포드의 법칙을 말하시는 것 같은데, 이건 지수적 분포(로그함수를 씌우면 균등해지는 분포라는 의미에서)를 따르는 자료에서 성립하는 거고 이 상황과는 큰 관계가 없어요
정규수의 성질은 유리수 곱에 대해서도 유지되기 때문에(즉, 적당한 자연수를 곱해서 정규수를 얻을 수 있는 수는 그 자체로 정규수기 때문에) 비정규수에 자연수를 곱해도 나오는 값은 비정규수라서, 아마도 힘든 접근일 것 같네요
아 그렇군요..제 지식이 짧았습니다
(루트2 - 1)^n이 원하는 오차보다 작아질 정도로 충분히 큰 n에 대해서 해당 무게가 되게끔 하는 추 묶음을 단위로 측정...??
3-2루트(2)=(루트(2)-1)^2죠힌트를 캐치해서 푸신 건진 모르겠지만...
저렙 노프사 무서워요힌트 보고 숫자가 익숙해서 곰곰히 생각해냈네요
굉장히 Nested Interval Theorem 같은 내용이네요.
증명은 다음과 같습니다.
임의의 실수 k에 대하여 우선 최초의 부등식을 만듭니다.
a+b√2 =< k =< c+d√2
(a, b, c, d는 정수, 처음에는 아주 큰 범위여도 아무 상관이 없습니다.)
이제 α = 2√2 - 2라고 했을 때,
1/2 < α < 1 임은 쉽게 증명할 수 있습니다.
그러면 c-a = p, d-b = q 라고 했을 때
I_1 = [a+b√2, a+b√2 + α(p+q√2)] I_2 = [c+d√2 - α(p+q√2), c+d√2]
(α(p+q√2) = (4q-2p) + (2p-2q)√2 이므로 이 수를 더하거나 빼는 것은 주어진 조작으로 가능합니다.)
라 하면 k는 반드시 I_1 또는 I_2에 속하게 됩니다.
이 시행을 무한히 하게 되면 구간의 길이가 0으로 수렴하게 되기 때문에
충분히 많은 시행을 했을 때 구간의 길이를 0으로 충분히 가깝게 만들 수 있습니다.
사실 잘 보면 (루트(2)-1)을 반복적으로 곱해주는 조작과 비슷하죠오 신기하네요
대학 수학을 어느 정도 하신 거면, 임의의 무리수 a에 대해 일반화하는 것도 도전해 보세요
이것도 가능하지만, 좀 다른 접근을 필요로 해요