수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 11일차

아래는 오늘 문제인 수특 미적 58p Level3 3번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

기본적으로 삼각함수는 대칭성이 중요합니다. 

문제에서 나온 사인함수는 선대칭, 점대칭 성질 모두 있습니다.

f(x)는 주기 8인 사인함수죠. 

0<t<2일 때 x=2에 대해 대칭임을 생각하면 t1=4-t이고 g(t)=4-2t 입니다.

2≤t<6일 때 x=6에 대해 대칭임을 생가갛면 t1=12-t이고 g(t)=12-2t입니다.

마찬가지로 6≤t<10에서 g(t)=20-2t, ...이 됩니다. 

불연속인 지점은 x=2, 6, 10, 14, ... 이 되어 ak=4k-2가 되죠. 

ㄱ. a1=2, g(a1)=8이므로 참이고

ㄴ. 불연속 지점에서 함숫값은 8이고 좌극한은 0이므로 참입니다.

ㄷ. {g(루트t)-g(루트 ak)} /{(루트t - 루트 ak)×(루트t + 루트 ak)} 의 극한값은 

미분계수 정의를 생각하면 g'(루트 ak)/(2 루트 ak)가 됩니다.

그런데 g가 미분가능한 곳에서 기울기는 항상 -2이므로 g'(루트 ak)=-2이죠.

시그마 안에 있는 식이 ak=4k-2 가 되는 것이죠. 

그래서 k=1부터 20까지 (4k-2)의 합을 구하면 200이 되어 참입니다.

사실 여기서 x=루트ak에서 미분가능한지 확인을 해줬어야합니다.

미분 불가능한 지점은 x=2, 6, 10, ...로 4로 나눈 나머지가 2인 지점들입니다.

그런데 ak=4k-2이므로 만약 x=루트ak에서 미분이 불가능하다면

루트(4k-2)=4p+2(4로 나눈 나머지가2)라 쓸 수 있죠.

그러면 4k-2=(4p+2)²=16p²+16p+4가 되어 왼쪽과 달리 오르쪽은 4로 나누어 떨어져 모순입니다.

따라서 x=루트ak 에서 항상 미분이 가능함을 알 수 있습니다.

 아래는 관련 기출인 2022년 교육청 4월 30번(미적)입니다.

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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