수특에서 배울거리를 정리해보자 기하 15일차

아래는 오늘 문제인 수특 기하 51p Level3 5번입니다.

먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.

두 벡터 a, b에 대하여 ta+(1-t)b처럼 각 벡터 앞에 곱해진 계수의 합이 1일 때 a, b 벡터의 시점을 일치시키면

ta+(1-t)b 벡터의 종점은 a, b 벡터의 종점의 내분점, 외분점으로 해석할 수 있습니다.

0<t<1이면 내분점, 그렇지 않으면 외분점으로 해석할 수 있죠. 

문제를 볼게요. 

PA+2PB+3PC=kAB에서 시점을 P로 맞춰주기 위해 AB=PB-PA라 하면

(k+1)PA+(2-k)PB+3PC=0입니다. 

PA, PB의 계수의 합은 3이 됩니다. 합이 1이 되되록 양쪽을 3으로 나누어주면

(k+1)/3 PA + (2-k)/3 PB + PC=0이 됩니다. 

이제 PA, PB의 계수의 합이 1이 되었죠.

(k+1)/3 PA + (2-k)/3 PB = PD라 하면 D는 AB의 내분점 또는 외분점이 되고

PD+PC=0 이므로 P는 CD의 중점입니다.

정삼각형 ABC에서 점 D는 직선 AB 위를 움직이므로 점 P는 AC 중점과 BC 중점을 지나는 직선 위의 점이 됩니다. 

BP가 최소가 되어야 하므로 P는 B에서 내린 수선의 발이 되죠. 

C에서 AB에 수직이등분선을 내려 닮음비를 살펴보면 DA:DB=3:1임을 알 수 있고

따라서 D는 AB의 3:1 외분점이 됩니다. 

PD=-1/2 PA + 3/2 PB이므로 k= -5/2가 됩니다. 

봐주셔서 감사하고요

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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]

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