수특에서 배울거리를 정리해보자 미적 17일차
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아래는 오늘 문제인 수특 미적 74p Level3 3번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
문제를 풀다보면 그래프 개형에 따라 경우를 나누고
조건을 만족하는 그래프 개형을 골라내야할 때가 아주 많죠.
그 때 케이스를 나누는 기준 중 하나가 극값입니다.
극값이 여러개 나왔을 때 누가 더 큰지에 따라 조건을 만족하기도 않기도 하므로
극값의 대소를 비교하여 케이스 분류를 해야합니다.
문제를 볼게요.
x<0, x>0의 각 구간에서 f의 도함수는
f'(x)=2x+a, f'(x)=(1-x)e^-x +x입니다.
x=0에서 미분가능하므로 f'(0)이 존재해야합니다.
원래는 미분계수 정의를 이용해야하지만 각 도함수에 x=0을 대입해주면
a=b+1임을 알 수 있죠.
g(t)는 점 (t, f(t))에서 직선 y-x=0 사이 거리이므로
g(t)= |f(t)-t|/루트2입니다.
h(x)=f(x)-x라 하면 g(x)=|h(x)|/루트2죠.
h'(x)는 x<0에서 2x+a-1=2x+b, x>0에서 (1-x)e^-x 입니다.
h'(x)의 부호를 살펴보면
x=-b/2 좌우에서 (-)에서 (+)로 변하고
x=1 좌우에서 (+)에서 (-)로 변합니다.
h(x)가 x=-b/2에서 극소, x=1에서 극대를 갖게 되는 것이죠.
ㄱ. g(1)=h(1)/루트2=b/{e루트2}
인데 a=2이면 b=1이므로 ㄱ은 옳습니다.
ㄴ. g(x)는 |h(x)|/루트2이므로 h(x)의 x절편이었던 x=-b, x=0에서 극소를 갖습니다.
t=-2에서 극소이므로 b=2이고 a=3입니다. 따라서 a+b=5이므로 옳습니다.
ㄷ. g(x)는 |h(x)|/루트2이므로 h(x)가 극소, 극대를 갖던 x=-b/2, x=1에서 g(x)가 극대를 갖습니다.
ㄷ에서는 어떤 극댓값을 갖는 x값이 3개라는 이야기죠.
x=-b/2, x=1에서 g(x)의 극댓값이 서로 다른 경우 그래프를 그려보면 ㄷ에서 말하는 집합의 원소 개수는 2개 또는 4개가 됩니다.
x=-b/2, x=1에서 g(x)의 극댓값이 서로 같아야 하는 것이죠.
따라서 h(-b/2)=-h(1)입니다.
즉, b/(e루트2) = b²/(4루트2)이고 b= 4/e입니다. 따라서 a=1+4/e이고 a+b = 1 +8/e입니다.
따라서 ㄷ은 옳지 않습니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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기다려주시다니 감사합니다 ㅎㅎ
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댓글 감사합니다 많이 봐주세요~